作者：陈昌春
发布时间：2015年12月28日
网络来源：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=350729&do=blog&id=946429
——指数衰减律与幂律分布律貌似而神不同
——幂律拥有一条坚韧、绵长的厚实长尾
——”指数衰减律”长盛不衰，幂律异军突起
注：图1摘自《幂律分布研究简史》（《物理》，2005，34(12)）
指数衰减律或负指数规律在不同学科中已是司空见惯。《水文定理、定律和假说》初探的作者王国安先生比较水文学中的退水规律及其他自然学科中的衰减型公式的基础上，将之升格并统称为“物质衰减定律”。
国人相对比较陌生的“幂律”近些年来在经济学、社会学以及自然科学等不少学科频频亮相，变成了新贵。
在我眼中，研究“盛极而衰”的物质衰减规律的“指数衰减律”依然长盛不衰，但幂律已异军突起，在社会科学以及自然科学领域自有一番作为。
需要指出的是，“幂律”一词近年来在中国频频亮相，然而在国际层面它却不是一个新秀。据《幂律分布研究简史》（《物理》，2005，34(12)）介绍：“幂律分布已有超过100年的研究历史了，即使在现在，仍然是众多学科研究的热点。它那简洁优雅的形式，可以将许多似乎毫不相干的事物联系在一起，这种独特的魅力吸引了一大批杰出的物理学家、生物学家、天文学家、地质学家、数学家和社会学家，并不断有新的研究者加入到该领域) 但即便如此，要真正从本质上把握驱动系统呈现幂律分布的物理过程与机制，仍然有许多试验或理论性的工作要做) 另外，不同类型的幂律分布幂指数有很大的不同，究竟是什么原因导致了这种不同？这仍然是一个尚未完全解决的问题) 不过，我们相信，不久的将来，在众多科学家的共同努力下，人类最终将根本性地破解幂律分布之谜，为物理世界的简洁之美再谱华章。”
“弱而不太衰”的修辞方法受到南京大学政治学教授童星先生课堂上习用的“资本主义垂而不死、腐而不朽”的启发。
张学文先生围绕“幂律”已撰写了多篇博文（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&classid=141380&view=me&from=space）。
附1：https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law
Power law（幂律）
In statistics, a power law is a functional relationship between two quantities, where a relative change in one quantity results in a proportional relative change in the other quantity, independent of the initial size of those quantities: one quantity varies as a power of another. For instance, considering the area of a square in terms of the length of its side, if the length is doubled, the area is multiplied by a factor of four.
附2：以下内容摘自《人类行为时空特性的统计力学》（电子科技大学学报2013第42卷第4期）。作者介绍道：“本文为大家呈现近几年来在理解人类行为时间特性方面快速而激动人心的进展。其间，我们不仅可以亲历经典泊松范式的塌陷，见证幂律分布如何崛起并迅速成为主流，还可以听到夹杂其间对数正态分布和双峰分布非主流的呐喊。”
附3:以下内容摘自《长尾分布、幂律的产生机制和西蒙模型》（2008中国发展进程中的管理科学与工程(卷I)）一文
2005年，《连线》杂志主编克里斯·安德逊(Chris Anderson)L10出版了《长尾理论》(TheLong Tail)一书，全书以长尾分布为主线，研究了当今世界媒体正在经历的巨大变革，把握了世界经济的变化核心，敏锐地洞察到了下一个时代的互联网革命和机遇。以前，大规模批量生产统治了一切。产品以单一规格大批量生产可明显降低成本，再投入巨大的推广费用，大商家足以让竞争对手望而却步，用户也只能面对有限的选择来源。而今天，以web2．0为标志的去中心化和用户交互正在成为时代潮流，互联网技术又使人们获得了低廉而高效的推广手段，于是，潜藏在长尾分布尾部的千千万万在互联网上寻觅商机的中小企业和业余商家获得了无尽的希望和机会，一场百联网“草根革命”已经奏响了序曲。
自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象，因而对它们的研究具有广泛而深远的意义。借助于有效的物理和数学工具以及强大的计算机运算能力，科学家们对幂律分布的本质有了进一步深层次的理解。
幂律分布广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种多样. 在自然界与日常生活中,包括地震规模大小的分布 (古登堡2里希特定律) 、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布 、太阳耀斑强度的分布 、计算机文件大小的分布 、战争规模的分布 、人类语言中单词频率的分布 、大多数国家姓氏的分布 、科学家撰写的论文数的分布、论文被引用的次数的分布、网页被点击次数的分布 、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、甚至电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。
附5：http://blog.sina.com.cn/s/blog_8f48f45301015ofs.html
幂律和指数关系的差异 (2012-12-20 23:22:04)
下课后，通过数据拟合，发现两者的不同可以用一句话概括，幂律比指数下降的更快。
请看如下的两幅图
可以否发现，第一、第三和第四个点，幂律和指数关系拟合的差不多，然而区别在于第二个点。幂律的拟合值在指数之下。如果仔细观察首尾两段也可以发现，幂律在开始时比指数高，在结尾是也比指数高。也就是说，幂律两端更高，中间更低，在前半段变化比指数更快。
所用数据是北京大学三个学院330名同学的人人网好友数目分布。因此，通过拟合，这个数据分布更接近于指数分布，而非幂律。
那么，如何从社交网络中发现幂律分布呢？
如果扩大数据范围，数据分布会改变么？
附5注：“可以用一句话概括，幂律比指数下降的更快”只是局部现象，幂律的韧性在于厚尾，它比指数下降得更慢！
附6:http://blog.sciencenet.cn/blog-211414-288424.html
把幂律分布写入概率论教材
陆君安
附7:http://www.zhihu.com/question/20313934
附8:http://www.zhihu.com/question/24715169
http://blog.sciencenet.cn/blog-350729-946429.html