发布时间：2019年12月30日
微博：比特币布道者
《比特币白皮书》二项分布、赌徒破产、泊松分布概率理解
1.二项分布
原文：
诚实链条和攻击者链条之间的竞赛，可以用二叉树随机漫步（Binomial Random Walk)（或称二项式随机行走）来描述。成功事件定义为诚实链条延长了一个区块，使其领先性+1，而失败事件则是攻击者的链条被延长了一个区块，使得差距-1。
理解：
二项分布：就是重复n次互相独立的随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生、成功或者失败、要么0要么1、要么正面要么背面。
在攻击者追赶诚实链过程中，可以分割成无数“时间片”，在每个时间片内只有1次成功或1次失败两种可能，就如同扔硬币，每扔1次 （每个时间片）只有1次正面或1次背面，均符合二项分布。
2.赌徒破产
原文：
攻击者成功填补某一既定差距的可能性，可以近似地看做赌徒破产问题（Gambler’s Ruin problem）。假定一个赌徒拥有无限的透支信用，然后开始进行潜在次数为无穷的赌博，试图填补上自己的亏空。那么我们可以计算他填补上亏空的概率，也就是该攻击者赶上诚实链条。
p=诚实节点找到下一区块的概率
q=攻击者找到下一区块的概率
q_z=攻击者在落后z个区块时追上诚实链的概率
当p≤q时，q_z=1
当p>q时，q_z=(q/p)^z
假设p>q，随着攻击者需要追上区块数量的增加，追上的概率呈指数下降。由于攻击者的成功概率低，如果他在早期没有幸运的追上，随着他进一步落后，追上的机会越来越渺茫。
理解：
当p≤q时，即攻击者掌握了50%及以上算力时，不管开始攻击者落后多少个区块，经过无限次攻击，攻击者最终会追上诚实链，所以q_z=1。
当p>q时，攻击者落后z个区块时，攻击者需要连续追上z个区块来追上诚实链，攻击者连续追上z个块的概率q_z=(q/p)^z。三种理解：
1）根据赌徒破产问题，推导出概率公式，详见《Gambler’s Ruin Problem（赌徒破产问题）》
2）在无限长的时间内：
被切割成无数个时间片，在每个时间片内，攻击链成功的概率（攻击链追上1个区块的概率）是q/p，所以连续z个时间片成功的概率（攻击链追上z个区块的概率）是(q/p) ^z。
3）在无限长的时间内：
当落后1个区块时，追上的概率是二者分别爆1个区块的概率之比，即q/p。
当落后2个区块时，追上的概率是二者分别连爆2个区块的概率之比，即q^2/p^2=(q/p) ^2。
……
当落后z个区块时，追上的概率是二者分别连爆z个区块的概率之比，即q^z/p^z=(q/p) ^z。
3.泊松分布
3.1原文：
收款人将等待交易出现在首个区块中，然后在等到z个区块链接其后。此时，他仍然不能确切知道攻击者已经进展了多少个区块，但是假设诚实区块将耗费平均预期时间以产生一个区块，那么攻击者的潜在进展就是一个泊松分布，分布的期望值为：z*q/p。
理解：
攻击者的潜在进展：虽然诚实节点已经在交易后链接了z个区块，但是攻击者同步在生成伪链，伪链的长度为k，即攻击者的潜在进展为k，k的分布属于泊松分布，期望值lamda = z*q/p，其概率为：lamda^k*e^(-lamda)/k!。
泊松分布是由二项分布推导而来，是二项分布的近似值，是为了便于对二项分布进行计算。泊松分布的详解见《泊松分布的来源—公式推导—应用》。
期望值：在概率论或统计学中，期望值是指在一个离散性随机变量试验中“每次可能结果的概率乘以其结果”的总和，即试验的平均值。
链接了z个区块的情况下，对于潜在进展k个区块，每个进展的概率是q/p，所以期望值是z*q/p。
3.2原文：
当此情形，为了计算攻击者追赶上的概率，我们将攻击者取得进展区块数量的泊松分布的概率密度，乘以在该数量下攻击者依然能够追赶上的概率。
化为如下形式，避免对无限数列求和：
理解：
如果k大于z，说明攻击者潜在的进展k，已经超过了诚实链中交易后链接的z个区块，所以攻击者完胜，追上的概率为1。
如果k小于等于z，则由攻击者潜在进展情况概率lamda^k*e^(-lamda)/k!乘以该情况下的追上诚实链的概率(q/p)^(z-k)。
对于k小于等于z的情况，其由两个互相独立事件构成：
1）潜在进展k个区块事件，其概率是lamda^k*e^(-lamda)/k!。
2）从第k+1区块开始，追至第z个区块的事件，其概率是(q/p)^(z-k)。
最后的公式变换，将k的取值范围由0至无穷，变换成了0至z，避免了对无穷数列求和。1-(q/p)^(z-k)是“从第k+1区块开始，追不到第z个区块的概率” 。最后整体再用1去减，即又变成了追上的概率。