能否用通俗的语言解释『多项式时间』？
作者：張思成
时间：2018年9月26日
来源：https://www.zhihu.com/question/24653072/answer/498750995
知乎首答。举一个中学生应该都能听懂的例子。
假设你被关在一个房间里，房间有一扇门，门上有一些开关，假设是 n 个。你必须将一定数量的开关按下去才能把门打开出去，事先不知道是多少个。现在请问你要花多长时间才能出去？
你别无选择，只能一个个试。答案很明显，正比于房门上的开关数目，对吧？所以这个问题的计算时间可以表示为 O(n) ，这里房门上的开关数目n就是问题的规模，次数为1。
现在你出去了，又发现了一扇一模一样的门，那么你还要再花大致一样的时间才能打开。对于两扇门而言你走出去所需要的总时间大约为 2n ，2就是多项式倍数，次数仍是1，因此解开两扇门时间复杂度还是 O(n) 。
事实上，无论有多少扇一模一样的门，只要开启的原理不变，你所花费的总时间只会乘以一个系数（就是所谓的多项式倍数），换句话说就是成线性增长的。这就是次数为1（线性）的含义；或者，增加门上的开关数量，哪怕增加一倍甚至几倍，你只要耐心一点，最终还是能出去的。
这回你终于遇到了一扇不一样的门。这个门被分为两部分，每一部分上都有 n 个开关。你必须在每一部分上都按下特定数量的开关，才能打开门出去。要开启这扇门，你大约需要花费 n^2 的时间，可表示为 O(n^2) 。虽然看起来很久，但这仍属于多项式时间。
以此类推，如果门分为3部分（每一部分都有 n 个开关），就需要 n^3 的时间；分为 k 部分，就需要 n^k 的时间。无论多少部分都属于多项式时间，表示为 O(n^k) 。注意，指数项是个常数，和 n 无关（和门被分割成的部分数目有关，和每部分上的开关数目无关）。
这里稍微解释一下多项式时间，多项式你总知道吧？形如：
a_0+a_1n+a_2n^2+…a_kn^k
的式子称为关于 n 的 k 次多项式。只要问题的计算时间相对于问题大小 n 可以表示为这样的形式，这个问题就属于多项式时间问题。我们在考虑计算复杂度时，只关注它的最高次项 n^k 而将其他低次项以及各项前的系数都忽略掉，记为 O(n^k) 。我们将所有此类问题都归为一个大类，P问题。
为什么这个“多项式时间”那么重要而且经常提到？因为它是当今计算科学里，问题“可解”与“不可解”的分水岭。理论上，只要此问题属于P之一大类，目前的计算机都能在可接受的时间内找到问题的最优解；实际上，当指数系数 k 很大时最优解的寻找也会很困难，但无论如何理论上是可行的。反之，如果计算时间不能表述为这样的形式，我们就将其归为NP问题（非多项式时间）。注意我这里说的“不可解”不是说问题完全无法求解，实际上大部分NP问题，要找到可行解相当容易，但是最优解却几乎无法在可接受的时间内找到。
此外还有一类问题称为NP困难问题，基于现有理论，几乎是肯定不能在多项式时间内进行求解的。下面我们接着开门。
再开了无数扇门以后你遇到了这样一扇门，它上面的开关按下后可以重新拨上去。只有某种特定的开关组合才能把门打开。现在让我们来算一下你需要多长时间开门：每一个开关有拨上去或者按下去两种状态，那么总共有 2^n 种状态。假设你把所有开关拨动到每一种状态的时间都差不多，那么总时间就可以表述为 O(2^n) ，也就是指数时间。指数时间是一个可怕的敌人。为什么？假设你按下调试所有开关到某个状态需要10秒，如果一共有5个开关，那么你需要320秒试完所有的可能。如果把开关数增加到6个，那么需要的时间将翻一倍到640秒，13个就是81920秒，将近一天的时间。还不够可怕吗？继续增加，增加到22个，你就需要一年多的时间；增加到28个，你一辈子都会困在这个房间里。感受到被指数支配的恐惧了吗？别说是一个人，哪怕天河二号都无法承受这么恐怖的运算时间增幅。
不过，你以为这就是最可怕的情形了吗？你太天真了。
假设你运气好不小心试出了开门的开关组合，下面这个终极Boss才会要了你的命：
你需要按照某种特定的顺序把所有的开关都按一遍，然后才能开门。这个问题的时间复杂度是 O(n!) ，阶乘，一个比指数更可怕的敌人。
其实上面还有更厉害的 O(n^n) 。怪物多得是。只是，解决这种复杂问题已经不属于人的领域了。
有的朋友也许会问，量子计算机能搞定NP问题吗？我的答案是，我也不知道。不过就以上的例子而言，量子计算是可以打开指数的大门的，你可以理解为，具有 n 个量子比特的计算机，就同时有 2^n 个小伙伴在同时帮你尝试各种组合；至于阶乘，大概不行，阶乘除以指数还是阶乘。
扯远了，今天就到这。
P, NP, NP-complete, NP-hard问题对比
作者：㭍葉
P问题：英文为polynomial problem，译过来就是多项式问题。可以在多项式时间内被解决的问题。如果一个问题是P问题，那么毫无疑问我们可以在多项式时间内验证它。
NP问题：英文为Non-deterministic Polynomial problem，不确定性问题。可以在多项式时间内被验证的问题。NP问题可以在多项式时间内被验证，但是不确定是否可以在多项式时间内找出解。通俗来说其解的正确性能够被很容易检查的问题。很容易检查指的是存在一个多项式检查算法。
NP-Hard问题：不确定是否可以在多项式时间内被验证。如果可以证明某问题有一个子问题是NP-Hard问题，那么该问题是一个NP-Hard问题。NP-Hard问题不确定是否可以在多项式时间内被验证。若问题A不属于NP类，已知某一NPC问题可在多项式时间之内转化为问题A，则称A为NP-Hard问题。
NP-Complete问题：是NP的一个子集，且其中每一个问题均能由NP中的任何问题在多项式时间内转化而成。问题A能在多项式时间内转化为问题B，可理解为问题A有一个算法以问题B的算法为子程序，当把每次对B算法的调用看作一个基本操作（只花常数时间）时，A这个算法时多项式时间的。NPC问题是所有NP问题中最难的问题。
证明A是NP-Complete需要两步。第一先证明A是NP的，即满足容易被检查这个性质；第二步是构造一个从某个已知的NP-Complete问题B到A的多项式变换，使得如果B能够被容易求解，A也能被容易解决。我们至少需要知道一个NP-Complete问题。
第一个NP-Complete问题是SAT问题（晚宴安排问题）。COOK证明了任意一个非确定性图灵机的计算过程，即先猜想再验证的过程，都可以被描述成一个SAT问题。如果你有一个能解决该SAT问题的好算法，你就可以解决相应的那个非确定性图灵机计算问题，因为每个NP问题都不过是一个非确定性图灵机计算问题。所以，如果你可以解决SAT，你就可以解决所以NP问题，因此，SAT是一个NP-Complete问题。迄今为止，人们已经发现了成千上万的NP-Complete问题，他们都具有容易被检查的性质。
P, NP, NP-Hard, NP-Complete是不同的复杂性类，用于将所有的算法问题进行分类，以确定当前算法的难度。
如上图，在所有NP(non-deterministic polynomial-time)问题中（结果正确性可以在多项式时间验证），有些问题是特别难的，如NP-complete问题，有些问题很简单，如P问题，可以在多项式时间解决。
那如果我们找到一个特别的问题H，使得所有NP问题都可以reduce到问题H上，那这个问题H肯定特别难，因为我们能用这个问题H解决所有的NP问题，因此我们称这个问题H为NP-Hard问题。
这个经过reduce的问题H不一定是NP问题，于是才有上述示意图的上部分，即有一部分NP hard问题是落在圈外的。如果问题H是属于NP的话，那么问题H就是NP-complete问题，NP完全是NP和NP-hard的交集。
多项式时间可解的问题：如果对于某个确定的常数k,存在一个能在O(nk)时间内求解出某具体问题的算法，就说该具体问题是一个多项式时间可解问题。
一般来说，大家往往将多项式时间内可解的问题称作易处理的问题，将超多项式时间内解决的问题称作不易处理的问题。