《重读相对论》5.5 速度合成

5.5 速度合成

接下来，我们把列车中的思想实验扩展到两个匀速直线运动的参考系中，为了简便起见，我们分别用两个坐标轴S和S’来代替参考系，假设两个数轴的原点在0时刻完全重合，并且S’系正以速度v匀速运动。那么，在S参考系看来，经过了t时间后，S’系的坐标原点将移动到x = v t处，如果此时，在S’上的X’处发生一个事件，那么，在S系看来，此事件的时空坐标为(x，t)，在S’系看来，同一事件的时空坐标为(x’，t’)。那么这两组时空坐标之间的关系如何呢？

如图5-11所示，在S系中看来，根据长度收缩的效应，在S’系中测得的X’的一段距离，收缩后应为

加上S’系的坐标原点所在的位置vt，因此，该事件在S系中的空间坐标：

综合上述两式，再加上垂直方向上空间保持不变，就得到了完整的洛伦兹变换公式：

洛伦兹变换可以把静止参考系内的时空坐标向运动参考

系内转换。相反，如果已知运动坐标系的运动速度和坐标位置，也可以得出静止参考系中的对应坐标，这就是洛伦兹变换公式的逆变换：

利用洛伦兹变换的逆变换公式，可以进行相对论的速度

合成，假设在S’坐标系中，有某一物体沿着S’系运动方向继续以速度u’向前运动，那么，在S系看来，它的速度又会是多少呢？如果是按照伽利略变换规则，速度可以直接相加，最终的合速度u = v+u’，但是考虑到相对论的尺短钟慢的效应，还需要按照其时空坐标重新计算。假设在物体在S’坐标系中运动时,t1’时刻在位置x1’，运动到t2’时刻以后到达了x2’，那么，可以知道它在S’参考系中的速度：

同理，假设该物体的上述运动在S系中对应的时空坐标

分别为（t1，x1）和（t2，x2），那么，它在S系中的运动速度：

那么，这些坐标的对应关系又是如何呢？由洛伦兹逆变换公式可知：

代入上式可得

通过相对论速度合成公式不难发现以下两点：

第一、伽利略变幻是在洛伦兹变换在低速条件下的近似。在日常生活中，由于u’和v远远小于光速c，所以1 + u’v/c2≈1，因此，速度合成公式可近似为伽利略速度合成公式：u=u’+v。

光速不可超越。即使我们在0.99倍的光速下再加上0.99倍的光速，速度合成以后的结果仍然会小于光速

但是，这样的结果不但与我们的直觉相悖，甚至和牛顿力学都是有冲突的，根据牛顿第二定律可以知道，只要持续给物体施加一个恒定的外力F，物体的速度应该在恒定加速度a=F/m的作用下不断累加，再根据v=at不难知道，速度v总有一刻会超越光速的，那么，这里面还存在什么问题呢？原来，随着物体的速度增加，物体的质量和加速度也发生了微妙的变化。