作者：aaron67
时间：2020年10月11日 00:53:04
来源：https://blog.csdn.net/aaron67/article/details/109006985
在文章非对称加密和签名认证中，我们介绍了双钥系统的两种应用场景：
- 加密解密时，公钥用于加密，私钥用于解密
- 身份认证时，私钥用于签名，公钥用于验证
椭圆曲线密码学（ECC，Elliptic Curve Cryptogphay）是一种流行的非对称加密算法，其背后的数学原理，是椭圆曲线上的离散对数难题。我们还知道，ECC 的私钥，本质是一个整数，其对应的公钥，是椭圆曲线上的一个点。
在将 ECC 作为双钥系统使用时，针对不同的应用场景，会涉及到不同的算法。常见的有
- 在加密和解密时使用的椭圆曲线集成加密框架（ECIES，Elliptic Curve Integrated Encryption Schema）
- 用于协商和交换公共密钥的椭圆曲线 Diffie-Hellman 密钥交换算法（ECDH，Elliptic Curve Diffie-Hellman Key Exchange）
- 用于生成和验证数字签名的椭圆曲线数字签名算法（ECDSA，Elliptic Curve Digital Signature Algorithm）
本文将介绍并实现 ECDSA 的相关内容。
签名
用私钥 a 对消息 m 签名，得到的结果是两个整数 ( r , s )，计算过程如下。
- 随机生成临时私钥 k，并计算其对应的公钥 K = k ⋅ G = ( x_K , y_K )
- 计算 r = x_K mod n，若 r为 0，则回到第一步（n = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFE BAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141）
- 计算消息 m 的哈希 e = hash ( m )，并将 e 的二进制序列转成一个整数
- 计算 s = k^(− 1)( e + ra ) mod n，若 s 为 0，则回到第一步
- 得到签名 ( r , s )
import hashlib
def sha256(payload: bytes) -> bytes:
return hashlib.sha256(payload).digest()
def double_sha256(payload: bytes) -> bytes:
return sha256(sha256(payload))import random
def hash_to_int(message: bytes) -> int:
"""Calculate the bitcoin double-sha256 hash of the message, return as an integer"""
h = double_sha256(message)
return int.from_bytes(h, byteorder='big')
def sign(private_key: int, message: bytes) -> tuple:
"""Create ECDSA signature (r, s)"""
e = hash_to_int(message)
r, s = 0, 0
while not r or not s:
k = random.randrange(1, curve.n)
k_x, _ = scalar_multiply(k, curve.g)
r = k_x % curve.n
s = ((e + r * private_key) * modular_multiplicative_inverse(k, curve.n)) % curve.n
return r, s如果每次签名都使用相同的 k，当知道了消息 e_1、e_2 和签名 (r_1, s_1)、(r_2, s_2)时，有
- r_1 = r_2，因为 k 相同
- 根据 s 的定义，有 s_1 – s_2 = k^(-1)(e_1 – e_2) mod n
- 将上式两边同时乘以 k 再除以 (s_1 – s_2)，有 k = (s_1 – s_2)^(-1)(e_1 – e_2) mod n
这样就得到了 k，再根据 s = k^(-1)(e + ra) mod n，从而反推出 a = r^(-1)(sk – e) mod n。类似的攻击方法在 k 值可预测时也能使用。
所以请务必注意，每次签名时使用的 k，都需要保证绝对私密且生成时足够随机，以保证私钥 a 的安全。
验签
用公钥 A 和消息 m 验证签名 ( r , s )，过程如下。
计算消息 m 的哈希 e = hash(m)，并将 e 的二进制序列转成一个整数
计算整数 u_1 = s^(-1)e mod n
计算整数 u_2 = s^(-1) mod n
计算点 P = u_1 ⋅ G + u_2 ⋅ A = ( x_P , y_P )
当且仅当 r = x_P mod n 时，验签成功
def verify_signature(public_key: tuple, message: bytes, signature: tuple) -> bool:
"""Verify signature with public key and message"""
e = hash_to_int(message)
r, s = signature
w = modular_multiplicative_inverse(s, curve.n)
u1 = (w * e) % curve.n
u2 = (w * r) % curve.n
x, _ = add(scalar_multiply(u1, curve.g), scalar_multiply(u2, public_key))
return r == (x % curve.n)证明
在开始之前，需要先明确一点：椭圆曲线上点的加法运算，符合交换律和结合律。
所以有 aG + bG = ( a + b ) ⋅ G，因为
a G + b G = G + G + . . . + G (a 个) + G + G + . . . + G (b 个) = G + G + . . . + G (( a + b ) 个) = ( a + b ) ⋅ G
进一步的，有 a ⋅ bG = ab ⋅ G，因为
a ⋅ bG = bG + bG + . . . + bG (a 个) = ( G + . . . + G ) + . . . + ( G + . . . + G ) (a 个) = G + G + . . . + G (ab 个) = ab ⋅ G
让我们借助上面这两个推论，通过公式变换，证明验签过程的正确性。
已知 A = aG，则
P = u_1 ⋅ G + u_2 ⋅ A = u_1 ⋅ G + u_2 ⋅ aG = ( u_1 + u_2a ) ⋅ G
带入 u_1和 u_2的定义，则
P = ( u_1 + u_2a ) ⋅ G = ( s^(−1)e + s^(−1)ra ) ⋅ G = s^(-1)(e + ra) ⋅ G
请注意，这里我们忽略了 u_1和 u_2定义中的模 n 运算，这不会有任何问题，因为 a ⋅ G = ( a mod n ) ⋅ G。如果你想知道为什么，可以搜索关键字“循环子群”阅读更多资料。
我们还知道 s = k^(-1)(e + ra) mod n，将等式两边同时乘以 k 再除以 s，就会得到
k = s^(-1)(e + ra) mod n
也就是说，如果 ( r , s ) 正确，验签时计算出的点 P 就是签名时临时私钥 k 对应的公钥。
P = s^(−1)(e + ra) ⋅ G = k ⋅ G = ( x_P , y_P )
根据 r 的定义，即当且仅当 r = x_P mod n 时，验签成功。
验证
我们可以写一个简单的例子来测试代码。
if __name__ == '__main__':
# 私钥
priv_key = 0xf97c89aaacf0cd2e47ddbacc97dae1f88bec49106ac37716c451dcdd008a4b62
# 公钥
pub_key = scalar_multiply(priv_key, curve.g)
# 要签名的消息
plain_text = '你好世界'
digest = sha256(plain_text.encode('utf-8'))
# 签名
sig_r, sig_s = sign(priv_key, digest)
print(' r =', sig_r)
print(' s =', sig_s)
# 验证签名 (r, s)
print(verify_signature(pub_key, digest, (sig_r, sig_s)))运行结果为
r = 114587593887127314608220924841831336233967095853165151956820984900193959037698
s = 24000727837347392504013031837120627225728348681623127776947626422811445180558
True输出符合预期。
签名的“对称性”
对 ECDSA 签名 ( r , s ) ，在验证时如果使用 ( r , − s mod n ) ，则也能验签成功。
if __name__ == '__main__':
#
# ...
#
# 验证签名 (r, -s)
negative_s = -sig_s % curve.n
print('-s =', negative_s)
print(verify_signature(pub_key, digest, (sig_r, negative_s)))运行结果为
r = 106466997694091524629965845090867478458136818253940782993316021692670806749258
s = 62904381853960967395432938678025872957596216909471919761592805395928247608025
True
-s = 52887707383355228028138046330662034895241347369602984621012357745589913886312
True这个“特性”本文暂不展开介绍，直接把结论放在这里，以保证整体内容的完整性。
完整代码
参考
- Elliptic Curve Cryptography: a gentle introduction 原文 译文
- Elliptic Curve Cryptography: finite fields and discrete logarithms 原文 译文
- Elliptic Curve Cryptography: ECDH and ECDSA 原文 译文
- GitHub andreacorbellini/ecc
- ECDSA 详解
- 椭圆曲线加密算法
- Digital Signatures (Signing & Verifying)